Exercice 20

Par la formule du binôme, $P_{k} = \sum_{j = 0}^{k} \binom{k + 1}{j}X^{j}$ : le terme $X^{k + 1}$ disparaît, et le coefficient de $X^{k}$ vaut $k + 1 \neq 0$. Donc $\deg P_{k} = k$ pour tout $k \in [\![0\,;n]\!]$. $$\boxed{(P_{0}, \dots, P_{n}) \text{ est une base de } \mathbb{K}_{n}[X] \text{ (proposition 10).}}$$