Exercice 19

(i) C'est une base, à degrés échelonnés (proposition 10). La formule de Taylor en $1$ donne les coordonnées : $P(1) = 3$, $P'(1) = 3$, $\frac{P''(1)}{2} = 1$. $$\boxed{X^{2} + X + 1 = 3 + 3(X - 1) + (X - 1)^{2}}$$

(ii) L'équation $a(X^{2} + X) + b(X^{2} + 1) + c(X + 1) = \alpha X^{2} + \beta X + \gamma$ s'écrit $a + b = \alpha$, $a + c = \beta$, $b + c = \gamma$. Ce système a une unique solution pour tout second membre, avec $a = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}$, $b = \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}$, $c = \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}$ : c'est une base par le théorème 2. $$\boxed{X^{2} + X + 1 = \frac{1}{2}(X^{2} + X) + \frac{1}{2}(X^{2} + 1) + \frac{1}{2}(X + 1)}$$

(iii) L'équation $a(X - 1)^{2} + bX^{2} + c(X + 1)^{2} = \alpha X^{2} + \beta X + \gamma$ s'écrit $a + b + c = \alpha$, $2(c - a) = \beta$, $a + c = \gamma$, d'où $b = \alpha - \gamma$, $a = \frac{2\gamma - \beta}{4}$, $c = \frac{2\gamma + \beta}{4}$ : solution unique, c'est une base. $$\boxed{X^{2} + X + 1 = \frac{1}{4}(X - 1)^{2} + \frac{3}{4}(X + 1)^{2}}$$