Exercice 18

1. Si $\lambda + \mu n^{2} + \nu 2^{n} = 0$ pour tout $n$, on divise par $2^{n}$ et l'on fait tendre $n$ vers $+\infty$ : $\nu = 0$, par croissance comparée. Il reste $\lambda + \mu n^{2} = 0$, et les valeurs $n = 0$ et $n = 1$ donnent $\lambda = \mu = 0$.

2. Si $a\cos + b\sin + c\exp = 0$, on divise par $\mathrm{e}^{x}$ et l'on fait tendre $x$ vers $+\infty$ : $c = 0$, puisque $\cos$ et $\sin$ sont bornées. La famille $(\cos, \sin)$ étant libre (exemple du cours), $a = b = 0$.

3. Si $\sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k}\sin^{k} = 0$, le polynôme $\sum \lambda_{k}T^{k}$ s'annule en tout point de $[-1, 1] = \sin(\mathbb{R})$ ; il a une infinité de racines, donc il est nul (chapitre 13, théorème 3), et tous les $\lambda_{k}$ sont nuls. $$\boxed{\text{Les trois familles sont libres.}}$$