Exercice 17

Soit $\mu_{1}, \dots, \mu_{n}$ des scalaires et $S = \sum \mu_{i}$. Alors $$\sum_{i = 1}^{n} \mu_{i}v_{i} = Su + \sum_{i = 1}^{n} \mu_{i}e_{i} = \sum_{k = 1}^{n} (S\lambda_{k} + \mu_{k})e_{k},$$ qui est nul si et seulement si $\mu_{k} = -S\lambda_{k}$ pour tout $k$. En sommant ces égalités, $S = -S\sum\lambda_{k}$, soit $S\big(1 + \sum\lambda_{k}\big) = 0$.

Si $\sum\lambda_{k} \neq -1$, cela impose $S = 0$, puis $\mu_{k} = 0$ pour tout $k$ : la famille est libre. Si $\sum\lambda_{k} = -1$, les scalaires $\mu_{k} = -\lambda_{k}$, non tous nuls, vérifient $S = 1$ et $\mu_{k} = -S\lambda_{k}$ : ils fournissent une relation de dépendance. $$\boxed{(v_{1}, \dots, v_{n}) \text{ liée} \iff \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} = -1}$$