Exercice 16

1. Si $\sum_{k = 1}^{n - 1} a_{k}(e_{k} + e_{k + 1}) = 0$, on regroupe selon les $e_{k}$ : $$a_{1}e_{1} + \sum_{k = 2}^{n - 1} (a_{k - 1} + a_{k})e_{k} + a_{n - 1}e_{n} = 0.$$ La liberté donne $a_{1} = 0$, puis $a_{k} = -a_{k - 1} = 0$ de proche en proche. $$\boxed{(e_{1} + e_{2}, \dots, e_{n - 1} + e_{n}) \text{ est libre.}}$$

2. On a $e_{1} = v_{1}$ et $e_{k} = v_{k} - v_{k - 1}$ pour $k \geqslant 2$ : chaque famille est formée de combinaisons de l'autre, d'où l'égalité des sous-espaces engendrés. Si $\sum \mu_{k}v_{k} = 0$, alors $\sum_{j} \big(\sum_{k \geqslant j} \mu_{k}\big)e_{j} = 0$, donc toutes les sommes $\mu_{j} + \cdots + \mu_{n}$ sont nulles ; leurs différences successives donnent $\mu_{n} = \mu_{n - 1} = \cdots = \mu_{1} = 0$. $$\boxed{(v_{1}, \dots, v_{n}) \text{ est libre et } \mathrm{Vect}(v_{k}) = \mathrm{Vect}(e_{k})}$$