Exercice 15

1. Les vecteurs $(1, 2, 3)$ et $(-1, 4, 6)$ ne sont pas colinéaires : la première famille est libre. La seconde est liée, puisque $-(1, 2, -1) + 2(1, 0, 1) + (-1, 2, -3) = 0$.

2. Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre, ce que l'on vérifie sur les coordonnées. Mais $v_{3} = v_{2} - 2v_{1}$ : la famille des trois est liée. $$\boxed{v_{3} = v_{2} - 2v_{1}}$$

3. La famille $(e_{1}, 2e_{2}, e_{3})$ est libre, comme sous-famille d'une famille libre, à un facteur non nul près. Pour la deuxième, $ae_{1} + b(2e_{1} + e_{4}) + c(e_{3} + e_{4}) = (a + 2b)e_{1} + ce_{3} + (b + c)e_{4}$, et la liberté de $(e_{1}, e_{3}, e_{4})$ donne $c = 0$, $b = 0$, $a = 0$ : elle est libre. La troisième est liée, car $7e_{1} - 4e_{2} = 2(2e_{1} + e_{2}) + 3(e_{1} - 2e_{2})$. $$\boxed{\text{libre, libre, liée}}$$ Piège. La question 2 montre que la liberté de toutes les sous-familles de deux vecteurs n'entraîne pas celle de la famille entière.