Exercice 29

Soit $F_{1}$ le premier ensemble, noyau d'une application linéaire. Si $P = aX^{3} + bX^{2} + cX + d$ en fait partie, l'égalité $$aX^{6} + bX^{4} + cX^{2} + d = aX^{5} + bX^{4} + cX^{3} + dX^{2}$$ impose $a = 0$, $c = 0$ et $d = 0$ ; réciproquement, $X^{2}$ convient. Donc $F_{1} = \mathrm{Vect}(X^{2})$. Le second ensemble est le noyau de la forme linéaire non nulle $P \mapsto P(2) - P(1)$, qui vaut $1$ en $X$ : c'est un hyperplan $H$, et $X^{2} \notin H$, puisque $4 \neq 1$. Le théorème 7 conclut. $$\boxed{\mathbb{R}_{3}[X] = \mathrm{Vect}(X^{2}) \oplus \{P \mid P(1) = P(2)\}}$$