Exercice 30

1. Si $u$ converge vers $\ell$, alors $u = (\ell)_{n} + (u_{n} - \ell)_{n}$, somme d'une suite constante et d'une suite de limite nulle. Une suite constante de limite nulle est nulle : l'intersection est réduite à $0$. $$\boxed{E = \{\text{suites constantes}\} \oplus \{\text{suites de limite nulle}\}}$$

2. Les deux ensembles sont des sous-espaces de $E$, et leur intersection est nulle, puisqu'une fonction affine $x \mapsto a + bx$ vérifiant $f(0) = f'(0) = 0$ a $a = b = 0$. Pour $f \in E$, la fonction $g : x \mapsto f(x) - f(0) - f'(0)x$ appartient à $F$, et $f = g + \big(x \mapsto f(0) + f'(0)x\big)$. $$\boxed{E = F \oplus \{x \mapsto a + bx\}}$$ En généralisant : dans l'espace des fonctions $n$ fois dérivables en $0$, l'ensemble des $f$ telles que $f(0) = f'(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = 0$ est un supplémentaire des fonctions polynomiales de degré au plus $n$, la décomposition étant donnée par le polynôme de Taylor $\sum_{k \leqslant n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$.