Exercice 31

Une combinaison linéaire de deux fonctions négligeables devant $x^{n}$ en $0$ l'est encore (chapitre 10), et $0 = o(x^{n})$ : $F$ est un sous-espace. Soit $G$ l'ensemble des fonctions polynomiales de degré au plus $n$. Si $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, la formule de Taylor-Young donne $$f = T + (f - T), \qquad T(x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}, \qquad f(x) - T(x) \underset{x \to 0}{=} o(x^{n}).$$ Si une fonction polynomiale de degré au plus $n$ est négligeable devant $x^{n}$, l'unicité du développement limité (chapitre 10) montre que tous ses coefficients sont nuls : $F \cap G = \{0\}$. $$\boxed{\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = F \oplus \{x \mapsto P(x) \mid P \in \mathbb{R}_{n}[X]\}}$$