ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Somme de sous-espaces

Exercice 32

Démonstration

1. Soit $F$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de période $1$ , et $G$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de limite nulle en $+\infty$ . Montrer que la somme $F + G$ est directe. Les sous-espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires dans $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$  ?

2. Dans $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , montrer que l'ensemble des suites nulles aux indices pairs et l'ensemble des suites telles que $u_{2n} = u_{2n + 1}$ pour tout $n$ sont supplémentaires.

Corrigé

1. Si $f$ est $1$ -périodique et de limite nulle en $+\infty$ , alors pour tout $x$ , $f(x) = f(x + k) \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$ , donc $f(x) = 0 : F \cap G = \{0\}$ . Les sous-espaces ne sont pas supplémentaires : si l'on avait $x = p(x) + g(x)$ avec $p \in F$ et $g \in G$ , alors $0 = p(x + 1) - p(x) = 1 - \big(g(x + 1) - g(x)\big) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1,$ ce qui est absurde. $\boxed{F \cap G = \{0\}, \text{ mais } F + G \neq \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) : \ x \mapsto x \notin F + G}$

2. Notons $A$ et $B$ les deux ensembles, qui sont des sous-espaces. Une suite de $A \cap B$ vérifie $u_{2n} = 0$ et $u_{2n + 1} = u_{2n} = 0$ : elle est nulle. Pour $u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , la suite $b$ définie par $b_{2n} = b_{2n + 1} = u_{2n}$ appartient à $B$ , et $a = u - b$ a ses termes pairs nuls. $\boxed{\mathbb{R}^{\mathbb{N}} = A \oplus B}$

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Dans l'édifice

Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

somme de sous-espaces, sous-espaces vectoriels, sommes directes, espaces de fonctions et de suites

Notions

somme directe, sous-espace vectoriel, supplémentaire