Exercice 33

Soit $L_{0}, \dots, L_{n}$ les polynômes de Lagrange associés aux points $a_{0}, \dots, a_{n}$. Un polynôme $P \in F_{j}$ s'annule aux $n$ points $a_{i}$, $i \neq j$, et il est de degré au plus $n$ : il est multiple de $\prod_{i \neq j}(X - a_{i})$, donc de $L_{j}$, et $P = P(a_{j})L_{j}$. Réciproquement, $L_{j} \in F_{j}$. Ainsi $F_{j} = \mathbb{K} L_{j}$. Comme $(L_{0}, \dots, L_{n})$ est une base de $\mathbb{K}_{n}[X]$ (exemple du cours), la deuxième remarque suivant la proposition 14 du cours donne la somme directe. $$\boxed{F_{j} = \mathbb{K} L_{j}, \qquad \mathbb{K}_{n}[X] = F_{0} \oplus \cdots \oplus F_{n}, \qquad P = \sum_{j = 0}^{n} P(a_{j})L_{j}}$$