Exercice 34

1. Si $A \cap B = A + B$, alors $A \subset A + B = A \cap B \subset B$, et de même $B \subset A$. La réciproque est claire.

2. Les sous-espaces $A \cap B$ et $A \cap C$ sont contenus dans $A$ et dans $B + C$, donc leur somme aussi. L'inclusion peut être stricte : dans $\mathbb{R}^{2}$, avec $A = \mathbb{R}(1, 1)$, $B = \mathbb{R}(1, 0)$, $C = \mathbb{R}(0, 1)$, le membre de gauche vaut $\{0\}$, et le membre de droite vaut $A \cap \mathbb{R}^{2} = A$.

3. Supposons $B \subset A$ et soit $x \in A \cap (B + C)$, $x = b + c$. Alors $c = x - b \in A$, donc $c \in A \cap C$, et $b \in B = A \cap B$. $$\boxed{B \subset A \implies (A \cap B) + (A \cap C) = A \cap (B + C)}$$ À retenir. L'intersection ne se distribue pas sur la somme ; c'est la différence la plus visible entre le calcul sur les sous-espaces et le calcul ensembliste du chapitre 1.