ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Somme de sous-espaces

Exercice 35

Démonstration

Soit $F$ , $G$ , $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $(F \cap G) \oplus H = G$ . Montrer que la somme $F + H$ est directe et que $F + G = F \oplus H$ .

Corrigé

Comme $H \subset G$ , on a $F \cap H \subset (F \cap G) \cap H = \{0\}$ : la somme $F + H$ est directe. Ensuite, $F + H \subset F + G$ puisque $H \subset G$ , et $G = (F \cap G) + H \subset F + H$ , donc $F + G \subset F + H$ . $\boxed{F + G = F \oplus H}$

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Dans l'édifice

Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

somme de sous-espaces, sous-espaces vectoriels, sommes directes

Notions

somme directe, sous-espace vectoriel, supplémentaire