Exercice 36

Les applications suivantes sont-elles linéaires ? On ne demande pas de justifier les réponses positives évidentes, mais de démontrer les réponses négatives.

1. $(x, y) \mapsto xy$, de $\mathbb{K}^{2}$ dans $\mathbb{K}$ ;

2. $(x, y) \mapsto (1 + x, 2x, y)$, de $\mathbb{K}^{2}$ dans $\mathbb{K}^{3}$ ;

3. $(x, y, z) \mapsto (x - 3z, 2x + y)$, de $\mathbb{K}^{3}$ dans $\mathbb{K}^{2}$ ;

4. $x \mapsto |x|$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ ;

5. $(x, y) \mapsto x^{2} - y^{2}$, de $\mathbb{C}^{2}$ dans $\mathbb{C}$ ;

6. $(x, y) \mapsto \min(x, y)$, de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ ;

7. $P \mapsto P(X^{2})$, sur $\mathbb{K}[X]$ ;

8. $P \mapsto P^{2}$, sur $\mathbb{K}[X]$ ;

9. $P \mapsto (2X + 1)P' - 4P$, sur $\mathbb{R}[X]$ ;

10. $f \mapsto f'' - 2f' + f$, de $\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ;

11. $f \mapsto f^{2} + 2f$, sur $\mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ;

12. $f \mapsto \int_{0}^{1} f(t)^{2}\,\mathrm{d} t$, de $\mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$.

Même question pour $(u_{n}) \mapsto (u_{n + 2} + u_{n + 1} + u_{n})$ sur $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, et pour $g \mapsto g \circ g$ sur $\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})$.