Exercice 37

Les quatre applications ont des composantes de la forme $a_{1}x_{1} + \cdots + a_{p}x_{p}$ : elles sont linéaires. On résout $u(x) = 0$ pour le noyau, et l'on utilise la proposition 18 pour l'image.

(i) $x + 2y = 0$ : $\mathrm{Ker}\, = \mathbb{R}(-2, 1)$ ; les deux coordonnées de l'image sont liées par $y' = -2x'$ : $\operatorname{Im} = \mathbb{R}(1, -2)$.

(ii) Le système $x = 0$, $2x - z = 0$, $x - y + z = 0$ n'a que la solution nulle ; pour tout $(a, b, c)$, l'équation $u(x, y, z) = (a, b, c)$ a la solution $x = a$, $z = 2a - b$, $y = 3a - b - c$ : l'application est bijective.

(iii) $x = 2y$ et $x = -2z$ : $\mathrm{Ker}\, = \mathbb{R}(2, 1, -1)$ ; les images $(1, 1)$ et $(-2, 0)$ de $e_{1}$ et $e_{2}$ engendrent $\mathbb{R}^{2}$, donc $\operatorname{Im} = \mathbb{R}^{2}$.

(iv) $x - 2y = x + 2y = 0$ impose $x = y = 0$ ; l'équation $u(x, y) = (a, b)$ a la solution $x = \frac{a + b}{2}$, $y = \frac{b - a}{4}$ : bijective. $$\boxed{\text{(i) } \mathrm{Ker}\, = \mathbb{R}(-2, 1),\ \operatorname{Im} = \mathbb{R}(1, -2) ; \ \text{(ii), (iv) bijectives} ; \ \text{(iii) } \mathrm{Ker}\, = \mathbb{R}(2, 1, -1),\ \operatorname{Im} = \mathbb{R}^{2}}$$