Exercice 60

1. On a $f \circ (-f) = (-f) \circ f = \mathrm{id}_{E}$. $$\boxed{f \in \mathrm{GL}(E), \qquad f^{-1} = -f}$$

2. Les ensembles $F = \mathrm{Ker}\,(f - \mathrm{i}\,\mathrm{id})$ et $G = \mathrm{Ker}\,(f + \mathrm{i}\,\mathrm{id})$ sont des sous-espaces. Si $x \in F \cap G$, alors $\mathrm{i} x = -\mathrm{i} x$, donc $x = 0$. Pour $x \in E$, on pose $$y = \frac{x - \mathrm{i} f(x)}{2}, \qquad z = \frac{x + \mathrm{i} f(x)}{2} ;$$ alors $y + z = x$, $f(y) = \frac{f(x) + \mathrm{i} x}{2} = \mathrm{i} y$ et $f(z) = \frac{f(x) - \mathrm{i} x}{2} = -\mathrm{i} z$. $$\boxed{E = F \oplus G}$$

3. Le calcul précédent donne $p = \frac{1}{2}(\mathrm{id} - \mathrm{i} f)$ et $q = \frac{1}{2}(\mathrm{id} + \mathrm{i} f)$, donc $p - q = -\mathrm{i} f$. $$\boxed{f = \mathrm{i}(p - q)}$$ C'est le cas $(\alpha, \beta) = (\mathrm{i}, -\mathrm{i})$ de l'exercice 62. L'hypothèse que $E$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel est essentielle : la rotation $(x, y) \mapsto (-y, x)$ de $\mathbb{R}^{2}$ vérifie aussi $f^{2} = -\mathrm{id}$, mais $\mathrm{i} x$ n'a pas de sens dans $\mathbb{R}^{2}$.