ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Endomorphismes, projecteurs et symétries

Exercice 59

Démonstration

Soit ff, g∈ℒ(E)g \in \mathcal{L}(E).

1. On suppose que gg est un projecteur et que Ker g\mathrm{Ker}\, g et Im⁡g\operatorname{Im} g sont stables par ff. Montrer que ff et gg commutent.

2. Donner un contre-exemple lorsque gg n'est pas un projecteur.

Corrigé

1. Par le théorème 5, tout xx s'écrit x=y+zx = y + z avec y∈Im⁡gy \in \operatorname{Im} g, g(y)=yg(y) = y, et z∈Ker gz \in \mathrm{Ker}\, g. Par stabilité, f(y)∈Im⁡gf(y) \in \operatorname{Im} g et f(z)∈Ker gf(z) \in \mathrm{Ker}\, g, donc g(f(x))=g(f(y))+g(f(z))=f(y)+0=f(g(x)).g(f(x)) = g(f(y)) + g(f(z)) = f(y) + 0 = f(g(x)).

f∘g=g∘f\boxed{f \circ g = g \circ f}

2. Si gg est un automorphisme, Ker g={0}\mathrm{Ker}\, g = \{0\} et Im⁡g=E\operatorname{Im} g = E sont stables par tout endomorphisme. Avec g(x,y)=(y,x)g(x, y) = (y, x) et f(x,y)=(x,0)f(x, y) = (x, 0), l'exemple du cours montre que ff et gg ne commutent pas.

Énoncé PDF, p. 10Corrigé PDF, p. 18Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Sommes directes, supplémentaires, projecteursApplications linéaires

Thèmes

projecteurs et symétries, projecteurs

Notions

projecteur

Ouvrir dans l'atlas interactif →