ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Endomorphismes, projecteurs et symétries

Exercice 61

Démonstration

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Pour $i \in [\![1\,;n]\!]$ , on note $p_{i}$ le projecteur sur $\mathrm{Vect}(e_{i})$ parallèlement à $\mathrm{Vect}(e_{j})_{j \neq i}$ . Montrer que $p_{i} \circ p_{j} = 0$ si $i \neq j$ , que $p_{i} \circ p_{i} = p_{i}$ , et que $p_{1} + \cdots + p_{n} = \mathrm{id}_{E}$ . Relier $p_{i}$ à la $i$ -ième forme coordonnée.

Corrigé

Pour $x = \sum_{k} e_{k}^{*}(x)e_{k}$ , la décomposition de $x$ selon $\mathrm{Vect}(e_{i}) \oplus \mathrm{Vect}(e_{j})_{j \neq i}$ est $e_{i}^{*}(x)e_{i} + \sum_{j \neq i} e_{j}^{*}(x)e_{j}$ , donc $p_{i}(x) = e_{i}^{*}(x)e_{i}$ . Par conséquent $p_{i}(p_{j}(x)) = e_{j}^{*}(x)\,e_{i}^{*}(e_{j})\,e_{i} = \begin{cases} p_{i}(x) & \text{si } i = j, \\ 0 & \text{si } i \neq j, \end{cases} \qquad \sum_{i = 1}^{n} p_{i}(x) = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}^{*}(x)e_{i} = x.$

\boxed{p_{i} = e_{i}^{*}(\cdot)\,e_{i}, \qquad p_{i}p_{j} = 0 \ (i \neq j), \qquad p_{i}^{2} = p_{i}, \qquad p_{1} + \cdots + p_{n} = \mathrm{id}_{E}}

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Dans l'édifice

Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Applications linéaires Familles libres, génératrices, bases

Thèmes

projecteurs et symétries, bases, projecteurs

Notions

projecteur, base (algèbre linéaire)