Exercice 40

1. L'application $T_{n}$ est linéaire, et $\deg(P'' + \omega^{2}P) \leqslant \deg P$ : elle envoie $\mathbb{R}_{n}[X]$ dans lui-même.

2. On a $T_{n}(X^{k}) = \omega^{2}X^{k} + k(k - 1)X^{k - 2}$, polynôme de degré exactement $k$, puisque $\omega \neq 0$. La famille $\big(T_{n}(X^{k})\big)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est donc à degrés échelonnés, c'est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$ (proposition 10), et $T_{n}$ est un automorphisme par le théorème 4 (iii).

3. Le polynôme $P = T_{n}^{-1}(X^{n})$ est une solution, de degré $n$, puisque $T_{n}$ conserve le degré. Si $Q$ est une solution polynomiale quelconque, de degré $m$, alors $\deg(Q'' + \omega^{2}Q) = m$, donc $m = n$, et $Q = P$ par injectivité de $T_{n}$. $$\boxed{\text{Il existe une unique solution polynomiale, de degré } n.}$$ Par exemple, pour $n = 2$ : $P = \frac{X^{2}}{\omega^{2}} - \frac{2}{\omega^{4}}$.