Exercice 39

1. L'ensemble $E$ est le noyau de la forme linéaire $u \mapsto u_{0}$, et $\Delta$ est linéaire. Si $\Delta(u) = 0$, la suite $u$ est constante, égale à $u_{0} = 0$ : $\Delta$ est injective. Si $v \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, la suite définie par $u_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} v_{k}$ appartient à $E$ et vérifie $\Delta(u) = v$, par télescopage (chapitre 3). $$\boxed{\Delta : E \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \text{ est un isomorphisme, de réciproque } v \mapsto \Big(\sum_{k < n} v_{k}\Big)_{n}}$$

2. L'ensemble $E_{a}$ est le noyau de l'évaluation en $a$. L'application $Q \mapsto (X - a)Q$, de $\mathbb{K}[X]$ dans $E_{a}$, est linéaire, injective puisque $\mathbb{K}[X]$ est intègre, et surjective par la proposition 7 du chapitre 13. $$\boxed{Q \mapsto (X - a)Q \text{ est un isomorphisme de } \mathbb{K}[X] \text{ sur } E_{a}.}$$ Piège. En dimension infinie, un espace peut être isomorphe à l'un de ses sous-espaces stricts ; le chapitre 15 montrera que c'est impossible en dimension finie.