Exercice 41

1. La linéarité vient de celle de $P \mapsto P(X + 1)$. Par la formule du binôme, $\Delta(X^{k}) = \sum_{j < k} \binom{k}{j}X^{j}$ est de degré $k - 1$ si $k \geqslant 1$, de coefficient dominant $k$, et $\Delta(1) = 0$. Donc $\deg\Delta(P) = \deg P - 1$ si $\deg P \geqslant 1$ : $\Delta$ envoie $\mathbb{R}_{n}[X]$ dans $\mathbb{R}_{n - 1}[X] \subset \mathbb{R}_{n}[X]$.

2. Un polynôme de degré au moins $1$ a une image non nulle, donc $\mathrm{Ker}\,\Delta_{n} = \mathrm{Ker}\,\Delta = \mathbb{R}_{0}[X]$. Par la proposition 18, $\operatorname{Im}\Delta_{n}$ est engendrée par $\Delta(X), \dots, \Delta(X^{n})$, de degrés $0, \dots, n - 1$ : c'est $\mathbb{R}_{n - 1}[X]$ (proposition 10). De même, $\operatorname{Im}\Delta = \mathbb{R}[X]$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\,\Delta_{n} = \mathrm{Ker}\,\Delta = \mathbb{R}_{0}[X], \qquad \operatorname{Im}\Delta_{n} = \mathbb{R}_{n - 1}[X], \qquad \operatorname{Im}\Delta = \mathbb{R}[X]}$$

3. Chaque application de $\Delta$ fait baisser le degré d'au moins $1$, et envoie les constantes sur $0$ : $\Delta_{n}^{n + 1}(P) = 0$ pour $\deg P \leqslant n$.

4. Soit $E = X\mathbb{R}[X]$, ensemble des polynômes sans terme constant. La restriction de $\Delta$ à $E$ est injective, puisque $E \cap \mathbb{R}_{0}[X] = \{0\}$, et surjective, puisque $\Delta(X^{k + 1})$ est de degré $k$ pour tout $k$, de sorte que les $\Delta(X^{k + 1})$ forment une base de $\mathbb{R}[X]$. $$\boxed{\Delta \text{ induit un isomorphisme de } X\mathbb{R}[X] \text{ sur } \mathbb{R}[X].}$$

5. Soit $Q \in X\mathbb{R}[X]$ tel que $\Delta(Q) = X^{d}$. Alors $Q(k + 1) - Q(k) = k^{d}$, et la somme télescopique donne $$\sum_{k = 0}^{n} k^{d} = Q(n + 1) - Q(0) = Q(n + 1).$$

$$\boxed{S_{d} = Q(X + 1), \text{ où } Q \in X\mathbb{R}[X] \text{ vérifie } Q(X + 1) - Q(X) = X^{d}}$$ Pour $d = 1$, $Q = \frac{X(X - 1)}{2}$ et l'on retrouve $\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$.