Exercice 42

L'application $f$ est linéaire, et $f(X^{k}) = (2^{k} - 1)X^{k}$. Pour $P = \sum a_{k}X^{k}$, on a donc $$f(P) = \sum_{k} (2^{k} - 1)a_{k}X^{k},$$ qui est nul si et seulement si $a_{k} = 0$ pour tout $k \geqslant 1$. L'image est engendrée par les $f(X^{k})$, multiples non nuls de $X^{k}$ pour $k \geqslant 1$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f = \mathbb{R}_{0}[X], \qquad \operatorname{Im} f = X\mathbb{R}[X]}$$