Exercice 43

1. On résout $u(v) = \lambda v$ pour $\lambda = 0$, $2$, $-2$. Les calculs, que l'on vérifie en appliquant $u$, donnent $$\boxed{\begin{array}{l} \mathrm{Ker}\, u = \mathbb{R}\big(1, -1, \sqrt{2}\big), \qquad \mathrm{Ker}\,(u - 2\,\mathrm{id}) = \mathbb{R}\big(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}, 2\big), \\[1mm] \mathrm{Ker}\,(u + 2\,\mathrm{id}) = \mathbb{R}\big(2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}, -2\big) \end{array}}$$ Par exemple, $u(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}, 2) = (4 - 2\sqrt{2}, 4 + 2\sqrt{2}, 4)$, qui est bien le double du vecteur.

2. Notons $v_{0}$, $v_{2}$, $v_{-2}$ ces trois vecteurs. La résolution de $av_{0} + bv_{2} + cv_{-2} = w$ par la méthode du pivot donne une solution unique pour tout $w$ : $(v_{0}, v_{2}, v_{-2})$ est une base de $\mathbb{R}^{3}$, et la deuxième remarque suivant la proposition 14 du cours donne la somme directe. $$\boxed{\mathbb{R}^{3} = \mathrm{Ker}\, u \oplus \mathrm{Ker}\,(u - 2\,\mathrm{id}) \oplus \mathrm{Ker}\,(u + 2\,\mathrm{id})}$$

3. Si $y + z \in F$ avec $u(y) = 2y$ et $u(z) = -2z$, alors $u(y + z) = 2y - 2z \in F$. L'application $y + z \mapsto \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z$ est la réciproque de la restriction de $u$ à $F$. $$\boxed{u_{|F} \in \mathrm{GL}(F), \qquad (u_{|F})^{-1}(y + z) = \frac{y - z}{2}}$$