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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Applications linéaires

Exercice 44

Démonstration

1. Soit ff, g∈ℒ(E)g \in \mathcal{L}(E) tels que f∘g−g∘f=ff \circ g - g \circ f = f. Montrer que fn∘g−g∘fn=nfnf^{n} \circ g - g \circ f^{n} = nf^{n} pour tout n∈ℕn \in \mathbb{N}.

2. Soit f∈ℒ(E)f \in \mathcal{L}(E) nilpotent, c'est-à-dire tel que fn=0f^{n} = 0 pour un n∈ℕ∗n \in \mathbb{N}^{*}. Montrer que idE−f\mathrm{id}_{E} - f est un automorphisme de EE, et donner une expression de son inverse.

Corrigé

1. Par récurrence sur nn, le cas n=0n = 0 étant clair. Si l'égalité est vraie au rang nn, fn+1g−gfn+1=f(fng−gfn)+(fg−gf)fn=nfn+1+fn+1.f^{n + 1}g - gf^{n + 1} = f(f^{n}g - gf^{n}) + (fg - gf)f^{n} = nf^{n + 1} + f^{n + 1}.

fn∘g−g∘fn=nfn\boxed{f^{n} \circ g - g \circ f^{n} = nf^{n}}

2. Comme idE\mathrm{id}_{E} et ff commutent, la factorisation de an−bna^{n} - b^{n} (chapitre 11) donne (idE−f)∘∑k=0n−1fk=idE−fn=idE,(\mathrm{id}_{E} - f) \circ \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{k} = \mathrm{id}_{E} - f^{n} = \mathrm{id}_{E}, et de même dans l'autre ordre. (idE−f)−1=∑k=0n−1fk\boxed{(\mathrm{id}_{E} - f)^{-1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} f^{k}}

Énoncé PDF, p. 7Corrigé PDF, p. 14Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Applications linéaires

Thèmes

applications linéaires, endomorphismes nilpotents, isomorphismes

Notions

application linéaire, groupe linéaire

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