Exercice 45

1. Si $f(x) = 0$, alors $f(g(x)) = g(f(x)) = 0$ : $g(x) \in \mathrm{Ker}\, f$. Si $y = f(x)$, alors $g(y) = f(g(x)) \in \operatorname{Im} f$.

2. Si $g \circ f = 0$, alors $g(f(x)) = 0$ pour tout $x$, donc $\operatorname{Im} f \subset \mathrm{Ker}\, g$ ; la réciproque se lit de même. $$\boxed{g \circ f = 0 \iff \operatorname{Im} f \subset \mathrm{Ker}\, g}$$