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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Endomorphismes, projecteurs et symétries

Exercice 53

DémonstrationCalcul

Dans ℝ3\mathbb{R}^{3}, on pose F={(x,y,z)∣x+y−z=0}F = \{(x, y, z) \mid x + y - z = 0\} et G=Vect((1,1,3))G = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 3)\big).

1. Montrer que FF et GG sont supplémentaires.

2. Déterminer le projeté de (2,2,3)(2, 2, 3) sur FF parallèlement à GG, puis celui de (1,−2,0)(1, -2, 0) sur GG parallèlement à FF.

3. Donner l'expression de la symétrie par rapport à FF parallèlement à GG.

Corrigé

1. Le plan FF est un hyperplan, noyau de φ:(x,y,z)↦x+y−z\varphi : (x, y, z) \mapsto x + y - z, et φ(1,1,3)=−1≠0\varphi(1, 1, 3) = -1 \neq 0 : par le théorème 7, ℝ3=F⊕G\mathbb{R}^{3} = F \oplus G.

2. Pour v=(x,y,z)v = (x, y, z), on cherche λ\lambda tel que v−λ(1,1,3)∈Fv - \lambda(1, 1, 3) \in F, c'est-à-dire φ(v)−λφ(1,1,3)=0\varphi(v) - \lambda\varphi(1, 1, 3) = 0, soit λ=−φ(v)=−(x+y−z)\lambda = -\varphi(v) = -(x + y - z). Les projecteurs sur FF et sur GG sont donc p(v)=v+(x+y−z)(1,1,3),q(v)=−(x+y−z)(1,1,3).p(v) = v + (x + y - z)(1, 1, 3), \qquad q(v) = -(x + y - z)(1, 1, 3).

p(2,2,3)=(3,3,6),q(1,−2,0)=(1,1,3)\boxed{p(2, 2, 3) = (3, 3, 6), \qquad q(1, -2, 0) = (1, 1, 3)}

3. La symétrie est s=2p−ids = 2p - \mathrm{id}. s(x,y,z)=(x,y,z)+2(x+y−z)(1,1,3)\boxed{s(x, y, z) = (x, y, z) + 2(x + y - z)(1, 1, 3)}

Énoncé PDF, p. 9Corrigé PDF, p. 16Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Sommes directes, supplémentaires, projecteursApplications linéaires

Thèmes

projecteurs et symétries, sommes directes, symétries

Notions

projecteur, supplémentaire, somme directe

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