Exercice 54

1. Le plan $F$ a pour base $\big((1, 1, 0), (-3, 0, 1)\big)$, obtenue en écrivant $x = y - 3z$. Le système qui définit $G$ donne $z = -2x$ et $y = z - x = -3x$, d'où $G = \mathbb{R} w$ avec $w = (-1, 3, 2)$, obtenu pour $x = -1$. Avec $\varphi(x, y, z) = x - y + 3z$, on a $F = \mathrm{Ker}\,\varphi$ et $\varphi(w) = -1 - 3 + 6 = 2 \neq 0$. Le théorème 7 donne $\mathbb{R}^{3} = F \oplus G$.

2. Comme à l'exercice précédent, $v - \lambda w \in F$ si et seulement si $\lambda = \frac{\varphi(v)}{\varphi(w)} = \frac{x - y + 3z}{2}$. $$\boxed{q(x, y, z) = \frac{x - y + 3z}{2}(-1, 3, 2), \qquad p(x, y, z) = (x, y, z) - \frac{x - y + 3z}{2}(-1, 3, 2)}$$