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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Endomorphismes, projecteurs et symétries

Exercice 56

Démonstration

Soit S1S_{1} et S2S_{2} deux sous-espaces supplémentaires de EE. On note p1p_{1} (resp. p2p_{2}) le projecteur sur S1S_{1} parallèlement à S2S_{2} (resp. sur S2S_{2} parallèlement à S1S_{1}), et s1s_{1} (resp. s2s_{2}) la symétrie par rapport à S1S_{1} parallèlement à S2S_{2} (resp. par rapport à S2S_{2} parallèlement à S1S_{1}). Montrer les égalités p1+p2=idE,p1∘p2=p2∘p1=0,s1+s2=0,s1∘s2=s2∘s1=−idE.p_{1} + p_{2} = \mathrm{id}_{E}, \qquad p_{1} \circ p_{2} = p_{2} \circ p_{1} = 0, \qquad s_{1} + s_{2} = 0, \qquad s_{1} \circ s_{2} = s_{2} \circ s_{1} = -\mathrm{id}_{E}.

Corrigé

Écrivons x=y+zx = y + z avec y∈S1y \in S_{1} et z∈S2z \in S_{2}. Alors p1(x)=yp_{1}(x) = y, p2(x)=zp_{2}(x) = z, s1(x)=y−zs_{1}(x) = y - z et s2(x)=z−ys_{2}(x) = z - y. On lit directement p1+p2=idp_{1} + p_{2} = \mathrm{id}, p1(p2(x))=p1(z)=0p_{1}(p_{2}(x)) = p_{1}(z) = 0, p2(p1(x))=0p_{2}(p_{1}(x)) = 0, s1+s2=0s_{1} + s_{2} = 0, et s1(s2(x))=s1(z−y)=−z−y=−x,s2(s1(x))=s2(y−z)=−y−z=−x.s_{1}(s_{2}(x)) = s_{1}(z - y) = -z - y = -x, \qquad s_{2}(s_{1}(x)) = s_{2}(y - z) = -y - z = -x.

p1+p2=idE,p1p2=p2p1=0,s1=−s2,s1s2=s2s1=−idE\boxed{p_{1} + p_{2} = \mathrm{id}_{E}, \quad p_{1}p_{2} = p_{2}p_{1} = 0, \quad s_{1} = -s_{2}, \quad s_{1}s_{2} = s_{2}s_{1} = -\mathrm{id}_{E}}
Énoncé PDF, p. 9Corrigé PDF, p. 17Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Sommes directes, supplémentaires, projecteursApplications linéairesEspaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

projecteurs et symétries, sous-espaces vectoriels, sommes directes, projecteurs, symétries

Notions

projecteur, sous-espace vectoriel, supplémentaire, somme directe

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