Exercice 57

1. Si $pq = qp$, alors $(pq)^{2} = pqpq = ppqq = pq$.

2. On a $(p + q)^{2} = p + q + pq + qp$, donc $p + q$ est un projecteur si et seulement si $pq + qp = 0$. Si $pq = qp = 0$, c'est le cas. Réciproquement, si $pq + qp = 0$, en composant par $p$ à gauche puis à droite, on obtient $pq + pqp = 0$ et $pqp + qp = 0$, d'où $pq = qp$, puis $2pq = 0$. $$\boxed{p + q \text{ projecteur} \iff pq = qp = 0}$$

3. On a $\operatorname{Im}(p + q) \subset \operatorname{Im} p + \operatorname{Im} q$. Réciproquement, $$(p + q)(p(x)) = p(x) + qp(x) = p(x),$$ donc $\operatorname{Im} p \subset \operatorname{Im}(p + q)$, et de même pour $q$. La somme est directe : si $y = p(a) = q(b)$, alors $y = p(y) = pq(b) = 0$. Pour les noyaux, $\mathrm{Ker}\, p \cap \mathrm{Ker}\, q \subset \mathrm{Ker}\,(p + q)$ ; si $p(x) = -q(x)$, en appliquant $p$, $p(x) = -pq(x) = 0$, puis $q(x) = 0$. $$\boxed{\operatorname{Im}(p + q) = \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Im} q, \qquad \mathrm{Ker}\,(p + q) = \mathrm{Ker}\, p \cap \mathrm{Ker}\, q}$$ Piège. La division par $2$ est permise parce que $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; sans elle, la question 2 serait fausse.