ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Applications linéaires

Exercice 49

Démonstration

Soit f∈ℒ(E)f \in \mathcal{L}(E).

1. Montrer que Im⁡f∩Ker f={0}\operatorname{Im} f \cap \mathrm{Ker}\, f = \{0\} si et seulement si Ker f2=Ker f\mathrm{Ker}\, f^{2} = \mathrm{Ker}\, f.

2. Montrer que Im⁡f+Ker f=E\operatorname{Im} f + \mathrm{Ker}\, f = E si et seulement si Im⁡f2=Im⁡f\operatorname{Im} f^{2} = \operatorname{Im} f.

3. On suppose que f7=ff^{7} = f. Montrer que E=Ker f⊕Im⁡fE = \mathrm{Ker}\, f \oplus \operatorname{Im} f.

Corrigé

1. On a toujours Ker f⊂Ker f2\mathrm{Ker}\, f \subset \mathrm{Ker}\, f^{2}. Si Im⁡f∩Ker f={0}\operatorname{Im} f \cap \mathrm{Ker}\, f = \{0\} et f2(x)=0f^{2}(x) = 0, alors f(x)∈Im⁡f∩Ker ff(x) \in \operatorname{Im} f \cap \mathrm{Ker}\, f, donc f(x)=0f(x) = 0. Réciproquement, si y=f(x)∈Ker fy = f(x) \in \mathrm{Ker}\, f, alors x∈Ker f2=Ker fx \in \mathrm{Ker}\, f^{2} = \mathrm{Ker}\, f et y=0y = 0.

2. On a toujours Im⁡f2⊂Im⁡f\operatorname{Im} f^{2} \subset \operatorname{Im} f. Si E=Im⁡f+Ker fE = \operatorname{Im} f + \mathrm{Ker}\, f, tout xx s'écrit f(z)+kf(z) + k, et f(x)=f2(z)f(x) = f^{2}(z). Réciproquement, si Im⁡f=Im⁡f2\operatorname{Im} f = \operatorname{Im} f^{2} et x∈Ex \in E, il existe zz tel que f(x)=f2(z)f(x) = f^{2}(z), et x=f(z)+(x−f(z))x = f(z) + \big(x - f(z)\big) avec x−f(z)∈Ker fx - f(z) \in \mathrm{Ker}\, f.

3. Si f2(x)=0f^{2}(x) = 0, alors f(x)=f7(x)=f5(f2(x))=0f(x) = f^{7}(x) = f^{5}(f^{2}(x)) = 0 ; et f(x)=f2(f5(x))∈Im⁡f2f(x) = f^{2}(f^{5}(x)) \in \operatorname{Im} f^{2}. Les questions 1 et 2 concluent. E=Ker f⊕Im⁡f\boxed{E = \mathrm{Ker}\, f \oplus \operatorname{Im} f}

Énoncé PDF, p. 8Corrigé PDF, p. 15Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Applications linéairesSommes directes, supplémentaires, projecteurs

Thèmes

applications linéaires, sommes directes

Notions

application linéaire, supplémentaire, somme directe

Ouvrir dans l'atlas interactif →