Exercice 79

1. Soit $p$, $q$ rationnels tels que $p + q\sqrt{2} = 0$. Si $q$ était non nul, $\sqrt{2} = -\frac{p}{q}$ serait rationnel, ce qui est faux ; donc $q = 0$, puis $p = 0$. En revanche, $\sqrt{2} \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{2} = 0$ est une relation de dépendance à coefficients réels non nuls. $$\boxed{(1, \sqrt{2}) \text{ est libre sur } \mathbb{Q} \text{ et liée sur } \mathbb{R}.}$$ Comme pour la famille $(1, \mathrm{i})$ dans le cours, la liberté dépend du corps des scalaires.

2. Soit $x$, $y$ réels et $r$ rationnel. En complétant par des coefficients nuls, on écrit $x$ et $y$ sur une même sous-famille finie $(e_{i})_{i \in J}$ de la base, contenant $\sqrt{2}$ : $x = \sum_{i \in J} x_{i}e_{i}$ et $y = \sum_{i \in J} y_{i}e_{i}$. Alors $rx + y = \sum_{i \in J} (rx_{i} + y_{i})e_{i}$, et l'unicité de l'écriture donne $\lambda(rx + y) = r\lambda(x) + \lambda(y)$. C'est l'argument qui montre, dans le cours, que les formes coordonnées sont linéaires. L'écriture $1 = 1 \cdot 1$ donne $\lambda(1) = 0$, et $\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2}$ donne $\lambda(\sqrt{2}) = 1$. $$\boxed{\lambda \text{ est } \mathbb{Q}\text{-linéaire}, \quad \lambda(1) = 0, \quad \lambda(\sqrt{2}) = 1}$$

3. Pour tout réel $x$, l'additivité de $\lambda$ donne $$g(x + 1) = \sqrt{2}\big(\lambda(x) + \lambda(1)\big) = g(x) \qquad\text{et}\qquad h(x + \sqrt{2}) = x + \sqrt{2} - \sqrt{2}\big(\lambda(x) + 1\big) = h(x).$$ Comme $x = g(x) + h(x)$ par définition : $$\boxed{\text{la fonction } x \mapsto x \text{ est la somme de } g, \ 1\text{-périodique, et de } h, \ \sqrt{2}\text{-périodique.}}$$

4. La fonction $g = \sqrt{2}\,\lambda$ est $\mathbb{Q}$-linéaire. Supposons-la continue en un point $x_{0}$. Pour tout réel $y_{0}$ et tout réel $y$, l'additivité donne $$g(y) = g(y - y_{0} + x_{0}) + g(y_{0}) - g(x_{0}) ;$$ lorsque $y$ tend vers $y_{0}$, le réel $y - y_{0} + x_{0}$ tend vers $x_{0}$, donc $g(y)$ tend vers $g(y_{0})$ : $g$ est continue en tout point. Soit alors $t$ réel, et $(r_{n})$ une suite de rationnels de limite $t$ (proposition 12 du chapitre 7). Comme $g(r_{n}) = r_{n}g(1) = 0$, la caractérisation séquentielle de la continuité (théorème 7 du chapitre 8) donne $g(t) = 0$. C'est faux pour $t = \sqrt{2}$, puisque $g(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$. $$\boxed{g \text{ n'est continue en aucun point de } \mathbb{R}.}$$ La fonction $h = \mathrm{id}_{\mathbb{R}} - g$ n'est donc continue en aucun point non plus.

5. Soit $\varphi$ une fonction continue et $T$-périodique, avec $T > 0$. Elle est bornée sur le segment $[0, T]$ (théorème 10 du chapitre 8), par un réel $M$. Pour tout réel $x$, le réel $x' = x - \lfloor \frac{x}{T} \rfloor T$ appartient à $[0, T[$, et $\varphi(x) = \varphi(x')$ par périodicité, puisque $x - x'$ est un multiple entier de $T$, donc $|\varphi(x)| \leqslant M$ : $\varphi$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Si $x \mapsto x$ était la somme de deux fonctions périodiques continues, elle serait bornée, ce qui est faux. $$\boxed{x \mapsto x \text{ n'est pas la somme de deux fonctions périodiques continues.}}$$ Piège. Il est tentant de croire qu'une somme de fonctions périodiques reste bornée, ou du moins « oscille » : c'est vrai pour des fonctions continues, et la question 5 montre que la décomposition de la question 3 ne peut pas l'être. La continuité n'est pas un détail, c'est elle qui interdit les monstres.

À retenir. Le même ensemble $\mathbb{R}$ porte deux structures d'espace vectoriel très différentes. Les applications $\mathbb{R}$-linéaires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ sont les $x \mapsto kx$ ; il existe bien d'autres applications $\mathbb{Q}$-linéaires, comme $\lambda$, mais le raisonnement de la question 4 montre que les seules qui soient continues sont encore les $x \mapsto kx$.

Les six derniers exercices sont des problèmes en autonomie ; le corrigé commence par l'idée directrice.