ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Exercices de synthèse

Exercice 80

Démonstration

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^{n}$ tel que tout vecteur non nul de $E$ ait toutes ses coordonnées non nulles. Montrer qu'il existe $v \in E$ tel que $E = \mathrm{Vect}(v)$ .

Corrigé

Idée. Deux vecteurs de $E$ dont les premières coordonnées coïncident sont égaux, puisque leur différence a une coordonnée nulle.

Si $E = \{0\}$ , on prend $v = 0$ . Sinon, soit $v \in E$ non nul ; sa première coordonnée $v_{1}$ est non nulle. Pour $x \in E$ , le vecteur $x - \frac{x_{1}}{v_{1}}v$ appartient à $E$ et a une première coordonnée nulle, donc il est nul. $\boxed{E = \mathrm{Vect}(v)}$

Énoncé PDF, p. 14 Corrigé PDF, p. 29 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

sous-espaces vectoriels

Notions

sous-espace vectoriel