Exercice 81

Idée. On décompose un vecteur de $G$ selon $F + H$, et l'on montre que sa composante dans $H$ est en fait dans $F$.

Soit $g \in G \subset G + H = F + H$ : $g = f + h$ avec $f \in F$ et $h \in H$. Alors $h = g - f \in G$, puisque $F \subset G$, donc $h \in G \cap H = F \cap H \subset F$, et $g = f + h \in F$. Ainsi $G \subset F$, et $F = G$. $$\boxed{F = G}$$ Sans l'hypothèse $F \subset G$, c'est faux : dans $\mathbb{R}^{2}$, avec $H = \mathbb{R}(1, 0)$, $F = \mathbb{R}(0, 1)$ et $G = \mathbb{R}(1, 1)$, on a $F + H = G + H = \mathbb{R}^{2}$ et $F \cap H = G \cap H = \{0\}$, mais $F \neq G$. C'est l'exemple des supplémentaires non uniques.