Exercice 27

Les sous-espaces $F$ et $G$ sont contenus dans $E$ : $1 - 1 + 1 - 1 = 0$, et si $x + z = y + t = 0$, alors $x - y + z - t = 0$. Raisonnons par analyse-synthèse. Si $v = (x, y, z, t) \in E$ s'écrit $a(1, 1, 1, 1) + w$ avec $w \in G$, les conditions $(x - a) + (z - a) = 0$ et $(y - a) + (t - a) = 0$ imposent $$a = \frac{x + z}{2} = \frac{y + t}{2},$$ ces deux valeurs étant égales puisque $v \in E$. Réciproquement, avec cette valeur de $a$, le vecteur $w = v - a(1, 1, 1, 1)$ appartient à $G$. $$\boxed{E = F \oplus G, \quad v = \frac{x + z}{2}(1, 1, 1, 1) + \Big(v - \frac{x + z}{2}(1, 1, 1, 1)\Big)}$$