Exercice 1

1. Le calcul direct donne $$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad (A + B)^{2} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 5 & -3 \end{pmatrix},$$ et, avec $A^{2} = \begin{pmatrix} 11 & -3 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$ et $B^{2} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$, $$\boxed{(A + B)^{2} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = A^{2} + 2AB + B^{2}}$$

2. On trouve $A^{2} + AB + BA + B^{2} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = (A + B)^{2}$. C'est le développement correct : par bilinéarité du produit (proposition 3), $(A + B)(A + B) = A^{2} + AB + BA + B^{2}$, et l'on ne peut regrouper $AB + BA$ en $2AB$ que si $AB = BA$, ce qui n'est pas le cas ici.

3. La différence vaut $(A + B)^{2} - (A^{2} + 2AB + B^{2}) = BA - AB$. $$\boxed{(A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} \iff AB = BA}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est d'appliquer les identités remarquables, ou la formule du binôme, à des matrices qui ne commutent pas. Elles ne valent que dans un anneau commutatif, ou pour deux éléments qui commutent (chapitre 11).