Exercice 2

1. On écrit $A = I_{2} + E_{12}$ et $B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$. Comme $I_{2}$ commute avec tout, $B$ commute avec $A$ si et seulement si elle commute avec $E_{12}$. Or $$E_{12}B = \begin{pmatrix} z & t \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad BE_{12} = \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & z \end{pmatrix},$$ d'où $z = 0$ et $t = x$. $$\boxed{AB = BA \iff B = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix} = xI_{2} + yE_{12}, \quad (x, y) \in \mathbb{K}^{2}}$$

2. On a $A = aI_{2} + bE_{12}$ avec $b \neq 0$ ; pour la même raison, $B$ commute avec $A$ si et seulement si elle commute avec $bE_{12}$, donc avec $E_{12}$ : on retrouve les matrices $xI_{2} + yE_{12}$. Si $b = 0$, la matrice $A = aI_{2}$ est scalaire et commute avec toutes les matrices.

3. L'ensemble $\mathcal{C}(A) = \{B \mid AB = BA\}$ est le noyau de l'application linéaire $B \mapsto AB - BA$ : c'est un sous-espace vectoriel. Il est stable par produit : si $B$, $C \in \mathcal{C}(A)$, alors $$A(BC) = (AB)C = (BA)C = B(AC) = B(CA) = (BC)A.$$ Il contient $I_{n}$ : c'est donc aussi un sous-anneau de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$.