Exercice 3

1. Avec $A = E_{11}$ et $B = E_{21}$, la proposition 4 donne $AB = E_{11}E_{21} = 0$, car $1 \neq 2$, et $BA = E_{21}E_{11} = E_{21} \neq 0$. $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} : \quad AB = 0, \quad BA = E_{21} \neq 0}$$

2. Le calcul donne $$\boxed{AB = AC = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 3 \end{pmatrix}}$$ alors que $B \neq C$. Si $A$ était inversible, on multiplierait à gauche par $A^{-1}$ pour obtenir $B = C$ : la matrice $A$ n'est donc pas inversible. On le voit aussi directement : ses deuxième et troisième colonnes sont égales.

3. D'après la proposition 2, la $j$-ième colonne de $AF$ est $AF_{j}$, où $F_{j}$ est la $j$-ième colonne de $F$. Ainsi $AF = 0$ si et seulement si chaque colonne de $F$ appartient à $\mathrm{Ker}\, A$. Le système $AX = 0$ s'écrit $x = 0$, $y + z = 0$, $3x + y + z = 0$, donc $\mathrm{Ker}\, A = \mathbb{K}\,(0, -1, 1)$. $$\boxed{AF = 0 \iff F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -\alpha & -\beta & -\gamma \\ \alpha & \beta & \gamma \end{pmatrix}, \quad (\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{K}^{3}}$$ À retenir. Dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$, on ne simplifie pas : $AB = AC$ n'entraîne $B = C$ que si $A$ est inversible. L'anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ n'est pas intègre (théorème 1).