Exercice 4

1. Le $j$-ième coefficient de la ligne $LA$ vaut $\sum_{i = 1}^{n} 1 \times a_{ij}$, c'est-à-dire la somme des coefficients de la $j$-ième colonne de $A$. Donc $LA = L$ si et seulement si toutes ces sommes valent $1$.

2. Si $LA = L$ et $LB = L$, alors $L(AB) = (LA)B = LB = L$, par associativité. Si $A$ est inversible et $LA = L$, on multiplie à droite par $A^{-1}$ : $L = LA^{-1}$. $$\boxed{\text{les matrices stochastiques en colonnes sont stables par produit et par inverse}}$$

3. La somme des coefficients de la $i$-ième ligne de $A$ est le $i$-ième coefficient de $AU$, où $U = {L}^{T}$. Une matrice a toutes ses sommes de lignes égales à $1$ si et seulement si $AU = U$, et le même calcul, à gauche cette fois, montre que ces matrices sont stables par produit et par inverse. On peut aussi transposer : $AU = U$ équivaut à $L{A}^{T} = L$.

À retenir. Une propriété des sommes de lignes ou de colonnes se traduit par un produit par $U$ ou par $L$ : c'est une égalité matricielle, que l'on manipule ensuite sans revenir aux coefficients.