Exercice 5

1. On écrit $A = \sum_{p, q} a_{pq}E_{pq}$. Par la proposition 4, $E_{ij}E_{pq}E_{k\ell}$ est nul sauf si $p = j$ et $q = k$, auquel cas il vaut $E_{i\ell}$. De même, $AE_{ij} = \sum_{p} a_{pi}E_{pj}$, dont le seul coefficient diagonal éventuellement non nul est celui d'indice $(j, j)$, égal à $a_{ji}$. $$\boxed{E_{ij}AE_{k\ell} = a_{jk}E_{i\ell}, \qquad \operatorname{tr}(AE_{ij}) = a_{ji}}$$

2. Si $\operatorname{tr}(AM) = 0$ pour toute $M$, on prend $M = E_{ij}$ : $a_{ji} = 0$ pour tous $i$, $j$, donc $A = 0$.

3. Les matrices scalaires $\lambda I_{n}$ commutent avec tout. Réciproquement, si $A$ commute avec toutes les matrices, elle commute avec $E_{ij}$. Or $AE_{ij} = \sum_{p} a_{pi}E_{pj}$ et $E_{ij}A = \sum_{q} a_{jq}E_{iq}$. En identifiant les coefficients d'indice $(p, j)$ pour $p \neq i$, on obtient $a_{pi} = 0$ ; en identifiant ceux d'indice $(i, j)$, on obtient $a_{ii} = a_{jj}$. Ainsi $A$ est diagonale, de coefficients diagonaux tous égaux. $$\boxed{\{A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \mid \forall M, \ AM = MA\} = \{\lambda I_{n} \mid \lambda \in \mathbb{K}\}}$$ À retenir. Le centre de l'anneau $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ est réduit aux matrices scalaires. Les matrices $E_{ij}$ servent de « sondes » : multiplier par $E_{ij}$ isole une ligne ou une colonne.