Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 16

Matrices

71 exercices corrigés · 11 36 19 5

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Calcul matriciel

Exercice 1 On pose A = begin pmatrix 3 & -1 -2 & 0 end pmatrix et B = begin pmatrix 0 & 1 3 & 2 end pmatrix. 1. Calculer (A + B)^2 et A^2 + 2AB + B^2. Les…
Exercice 2 1. Déterminer les matrices B ∈ M_2(K) qui commutent avec A = begin pmatrix 1 & 1 0 & 1 end pmatrix. 2. Même question avec A = begin pmatrix a & b 0…
Exercice 3 1. Trouver deux matrices A, B ∈ M_2(K) telles que AB = 0 et BA ≠ 0. 2. On pose A = begin pmatrix 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 3 & 1 & 1 end pmatrix, B =…
Exercice 4 Une matrice A ∈ M_n(K) est dite stochastique en colonnes si la somme des coefficients de chacune de ses colonnes vaut 1. On note L = begin pmatrix 1…
Exercice 5 1. Soit A = (a_ij) ∈ M_n(K). Calculer E_ijAE_kell et tr(AE_ij). 2. En déduire que si tr(AM) = 0 pour toute M ∈ M_n(K), alors A = 0. 3. Déterminer…
Exercice 6 1. Pour A = (a_ij) ∈ M_n,p(K), exprimer tr(A^TA) à l'aide des coefficients de A. 2. En déduire que, pour A ∈ M_n,p(K) à coefficients réels, A^TA = 0…
Exercice 7 1. Soit A, B ∈ S_n(K). Montrer que AB est symétrique si et seulement si AB = BA. 2. Soit A ∈ A_n(K). Montrer que A^2 est symétrique et que les…

Matrices carrées

Exercice 8 Calculer A^2 et A^3, conjecturer puis démontrer une expression de A^n pour n ≥ 1, dans les deux cas suivants: A = begin pmatrix 1 & -1 -1 & 1 end…
Exercice 9 On considère les suites définies par a_0 = 1, b_0 = 2, c_0 = 7 et, pour tout n ∈ ℕ, a_(n + 1) = 3a_n + b_n, b_(n + 1) = 3b_n + c_n, c_(n + 1) =…
Exercice 10 Soit d ≥ 2 et A ∈ M_d(K) la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients situés sur et au-dessus de la diagonale valent 1. On pose N =…
Exercice 11 Soit U = J - I_4 ∈ M_4(ℝ), matrice dont les coefficients valent 0 sur la diagonale et 1 ailleurs. 1. Calculer U^2 et trouver deux réels α, β tels…
Exercice 12 1. Soit A = begin pmatrix -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 end pmatrix. Montrer que A^2 = 2I_3 - A et en déduire que A est inversible, et son…
Exercice 13 1. Soit A, B ∈ M_n(K) nilpotentes et qui commutent. Montrer que AB et A + B sont nilpotentes. 2. Montrer par un exemple que le résultat tombe en…
Exercice 14 Pour (a, b) ∈ ℝ^2, on pose M(a, b) = begin pmatrix a & 0 & -b 0 & 1 & 0 b & 0 & a end pmatrix. 1. Calculer M(a, b)M(a', b'), et exprimer le résultat…
Exercice 15 Pour (a, b, c, d) ∈ ℝ^4, on pose M(a, b, c, d) = begin pmatrix a & -b & -c & -d b & a & -d & c c & d & a & -b d & -c & b & a end pmatrix, et l'on…
Exercice 16 Soit A = (min (i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(K), et U ∈ M_n(K) la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients situés sur et au-dessus…
Exercice 17 On note D l'ensemble des matrices de M_n(ℝ) à coefficients positifs ou nuls dont la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1. 1. Montrer que D…

Matrices et applications linéaires

Exercice 18 Soit f l'endomorphisme de ℝ^3 défini par f(x, y, z) = (x - z, y, y). 1. Déterminer la matrice A de f dans la base canonique. 2. Calculer A^2, A^3 et…
Exercice 19 Montrer que les applications suivantes sont linéaires, et déterminer leurs matrices dans les bases canoniques. 1. u: K_3[X] → K^2, P ↦ (P(-1), P'(0)…
Exercice 20 1. Montrer que A = begin pmatrix 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 end pmatrix est inversible et calculer A^(-1). 2. Soit Δ l'endomorphisme de ℝ_2[X]…
Exercice 21 On pose A = begin pmatrix 0 & 1 1 & 0 1 & 1 end pmatrix. 1. Existe-t-il B ∈ M_(2, 3)(ℝ) telle que AB = I_3 ? 2. Existe-t-il C ∈ M_(2, 3)(ℝ) telle…
Exercice 22 Soit F = u ∈ ℝ^ℕ mid ∀ n ∈ ℕ, u_(n + 2) = u_(n + 1) + u_n. 1. Donner une base B de F. 2. Montrer que T: (u_n)_(n ∈ ℕ) ↦ (u_(n + 1))_(n ∈ ℕ) est un…
Exercice 23 Soit α ∈ ℝ et n ≥ 1. Pour k ∈ [ [0;n] ], on note f_k: x ↦ x^k e^(α x), et E = Vect(f_0, …, f_n). 1. Quelle est la dimension de E ? 2. Montrer que la…
Exercice 24 1. Montrer que f: P ↦ X^2P'' + 2XP' est un endomorphisme de K_3[X]. Déterminer sa matrice dans la base canonique, et en déduire Ker f et Im f. 2.…
Exercice 25 Soit A = begin pmatrix a & b c & d end pmatrix ∈ M_2(K). 1. On note L_A l'endomorphisme M ↦ AM de M_2(K). Déterminer sa matrice dans la base (E_11,…
Exercice 26 Soit a ∈ K, n ∈ ℕ, et tau _a l'endomorphisme P ↦ P(X + a) de K_n[X]. 1. Déterminer la matrice A_a de tau _a dans la base canonique. 2. Calculer tau…
Exercice 27 Soit x_0, …, x_n ∈ K deux à deux distincts. 1. Montrer que φ: P ↦ (P(x_0), …, P(x_n)) est un isomorphisme de K_n[X] sur K^(n + 1). 2. En déduire que…
Exercice 28 Soit f ∈ L(E), où dim E = n ≥ 1, tel que f^n = 0 et f^(n - 1) ≠ 0. 1. Soit x ∈ E tel que f^(n - 1)(x) ≠ 0. Montrer que B = (x, f(x), …, f^(n -…
Exercice 29 Soit n = dim E. Un drapeau complet de E est une suite de sous-espaces 0 = F_0 ⊂ F_1 ⊂ … ⊂ F_n = E telle que dim F_i = i pour tout i. Un…

Changements de bases, équivalence et similitude

Exercice 30 1. Montrer que B = ((1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)) et C = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) sont des bases de ℝ^4 et de…
Exercice 31 Soit E muni d'une base B = (e_1, e_2, e_3), et f ∈ L(E) de matrice A = begin pmatrix -3 & -1 & 1 4 & 2 & -1 2 & 2 & -1 end pmatrix dans B. On pose…
Exercice 32 Soit f et g les endomorphismes de ℝ^3 définis par f(x, y, z) = (3x - 4y - 2z, 4x - 7y - 4z, -5x + 10y + 6z), g(x, y, z) = (5x - 8y - 4z, 8x - 15y -…
Exercice 33 Déterminer la matrice, dans la base canonique de ℝ^3, de la projection sur le plan d'équation x - 2y + z = 0 parallèlement à la droite Vect ((-1, 1,…
Exercice 34 Soit φ: P ↦ (X^2 + 2)P'' + (X + 1)P' + P. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de ℝ_2[X] et donner sa matrice dans la base canonique. 2. Déterminer…
Exercice 35 1. Montrer que A = begin pmatrix 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 end pmatrix est semblable à diag(0, 1, 3). 2. Montrer que B = begin pmatrix 1 & 1 &…
Exercice 36 Pour θ ∈ ℝ, on pose R(θ) = begin pmatrix cos θ & -sin θ sin θ & cos θ end pmatrix. 1. Montrer que θ ↦ R(θ) est un morphisme de groupes de (ℝ, +)…
Exercice 37 On considère les matrices élémentaires de M_n(K), avec n ≥ 2. 1. Deux matrices élémentaires sont-elles toujours équivalentes ? 2. Montrer que E_ii…
Exercice 38 Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension 2 et u ∈ L(E) tel que u^2 = - id_E. 1. Montrer que, pour tout x ≠ 0, la famille (x, u(x)) est une base de…
Exercice 39 Soit u ∈ L(E), avec dim E = n, et λ ≠ μ deux scalaires tels que (u - λ id_E) ∘ (u - μ id_E) = 0. 1. Montrer que E = Ker (u - λ id_E) oplus Ker (u -…
Exercice 40 1. Soit M ∈ M_n(K) telle que M^2 = M. Montrer que tr(M) est un entier naturel, et qu'il est égal au rang de M. 2. Soit S ∈ M_n(K) telle que S^2 =…
Exercice 41 On pose A = begin pmatrix 1 & -4 & -3 & -2 & -2 2 & -6 & -6 & -4 & -2 -3 & 12 & 12 & 6 & 3 0 & 2 & 3 & 0 & -1 end pmatrix. Déterminer le rang r de…
Exercice 42 On suppose qu'il existe A, B ∈ M_2(ℝ) et deux réels x ≤ y tels que AB = begin pmatrix 25 & 11 11 & 5 end pmatrix et BA = begin pmatrix x & 14 14 & y…
Exercice 43 1. Montrer qu'une matrice M ∈ M_n,p(K) est de rang 1 si et seulement s'il existe deux colonnes non nulles X ∈ K^n et Y ∈ K^p telles que M = X{Y}^T.…
Exercice 44 Soit u ∈ L(E) de rang 1. Montrer qu'un sous-espace F de E est stable par u si et seulement si F ⊂ Ker u ou Im u ⊂ F.
Exercice 45 1. Montrer que l'application Theta: A ↦ (M ↦ tr(AM)) est un isomorphisme de M_n(K) sur L(M_n(K), K). On pourra utiliser l'exercice 5. 2. En déduire…

Opérations élémentaires et systèmes linéaires

Exercice 46 Calculer le rang des familles suivantes de ℝ^3 ou de ℝ^4. Sont-elles libres ? génératrices ? Compléter celles qui sont libres en des bases, et…
Exercice 47 Dire si les matrices suivantes sont inversibles, et calculer leur inverse le cas échéant, par la méthode de Gauss-Jordan. A = begin pmatrix 1 & 1 &…
Exercice 48 1. Pour quelles valeurs du réel m la matrice begin pmatrix 1 & 1 & m 1 & m & 1 m & 1 & 1 end pmatrix est-elle inversible ? 2. Pour quelles valeurs…
Exercice 49 1. Montrer que M = begin pmatrix 1 & 0 & -1 -2 & 3 & 4 0 & 1 & 1 end pmatrix est inversible et calculer M^(-1). 2. En déduire, pour tout réel m, la…
Exercice 50 1. Soit a, b ∈ ℂ. Montrer que le rang de A = begin pmatrix a & 2 & -1 & b 3 & 0 & 1 & -4 5 & 4 & -1 & 2 end pmatrix est au moins 2. Pour quelles…
Exercice 51 Soit n ≥ 2. Déterminer le rang des matrices (max (i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) et (sin (i + j))_(1 ≤ i, j ≤ n).
Exercice 52 Soit A = (a_ij) ∈ M_n(K) à diagonale strictement dominante, c'est-à-dire telle que, pour tout i, |a_ii| > Σ_(j ≠ i) |a_ij|. 1. Soit X ∈ Ker A non…
Exercice 53 Soit A ∈ M_(3, 2)(ℝ) et B ∈ M_(2, 3)(ℝ) telles que AB = begin pmatrix 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end pmatrix. 1. Calculer le rang de AB, et en…

Exercices de synthèse

Exercice 54 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Les matrices considérées sont carrées d'ordre n ≥ 2. 1. Si AB =…
Exercice 55 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F). On dit que f se factorise à travers un espace vectoriel V de dimension finie…
Exercice 56 Soit A, B ∈ M_n(K). On cherche les matrices X ∈ M_n(K) telles que X + tr(X) A = B. 1. En prenant la trace des deux membres, résoudre cette équation…
Exercice 57 Soit A ∈ M_n(K), de rang r. En partant de l'écriture A = UJ_rV, où U et V sont inversibles, montrer qu'il existe une matrice inversible P telle que…
Exercice 58 Soit p ≥ 1. On considère les matrices inversibles de M_p(ℝ) dont tous les coefficients valent 0 ou 1. 1. Montrer qu'une telle matrice comporte au…
Exercice 59 On considère trois suites réelles (u_n), (v_n), (w_n) telles que, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = (v_n + w_n)/2, v_(n + 1) = (u_n + w_n)/2, w_(n + 1) =…
Exercice 60 Soit f ∈ L(E) et A(f) = g ∈ L(E) mid g ∘ f = f ∘ g = 0. 1. Montrer que A(f) est un sous-espace vectoriel de L(E). 2. Montrer que g ∈ A(f) si et…
Exercice 61 Soit n ≥ 2 et A ∈ M_n(K). On note [M]_ij le coefficient d'indice (i, j) d'une matrice M. 1. Montrer que si A n'est pas une matrice scalaire, il…
Exercice 62 Soit G un sous-groupe fini de (GL_n(ℂ), ×), de cardinal m, et B = 1/m Σ_(A ∈ G) A. 1. Montrer que, pour tout A_0 ∈ G, l'application A ↦ A_0A est une…
Exercice 63 Soit n ≥ 2. Pour une permutation σ de [ [1;n] ], on note P_σ la matrice de M_n(K) dont le coefficient d'indice (i, j) vaut 1 si i = σ(j) et 0 sinon,…
Exercice 64 Soit n ≥ 1 et A ∈ M_n(K) une matrice de trace nulle. On veut montrer que A est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont…
Exercice 65 Problème de Dirichlet discret. Soit n ≥ 3. On dit qu'une matrice M = (m_ij) ∈ M_n(ℝ) est harmonique si chacun de ses coefficients intérieurs est la…
Exercice 66 Soit a_1, …, a_13 treize entiers compris entre 1 et 40. On veut montrer qu'il existe des entiers relatifs α_1, …, α_13, non tous nuls, tels que…
Exercice 67 Théorème de Graham et Pollak. Lors d'un tournoi de ballon prisonnier entre n ≥ 2 joueurs, on dispute m matchs; au k -ième match, une équipe bleue…
Exercice 68 Soit A, B ∈ M_n(K), de rangs r et s. Déterminer max rg(UA + BV) | U, V ∈ GL_n(K).
Exercice 69 Déterminer les formes linéaires φ sur M_n(K) telles que φ(A) = φ(B) dès que A et B sont semblables.
Exercice 70 Déterminer les fonctions f: M_n(ℝ) → ℝ telles que, pour toutes matrices A, B ∈ M_n(ℝ), f(AB) ≤ min (f(A), f(B)).
Exercice 71 On note S l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers naturels a, b, c, d telles que ad - bc = 1, et l'on pose M = begin…