Exercice 38

1. Si $(x, u(x))$ était liée, avec $x \neq 0$, on aurait $u(x) = \lambda x$ pour un réel $\lambda$, puis $-x = u^{2}(x) = \lambda^{2}x$, soit $\lambda^{2} = -1$ : c'est impossible. La famille est libre, de cardinal $2 = \dim E$ : c'est une base.

2. Dans la base $\mathcal{B} = (x, u(x))$, on a $u(x) = 0 \cdot x + 1 \cdot u(x)$ et $u\big(u(x)\big) = -x$. $$\boxed{\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

3. Supposons $\dim E = 3$ et $u^{2} = -\mathrm{id}_{E}$. La question 1 montre qu'aucune droite n'est stable par $u$. Soit $x \neq 0$ ; le plan $F$ engendré par $x$ et $u(x)$ est stable par $u$, puisque $u(u(x)) = -x$. Soit $y \notin F$, et $G$ le plan stable engendré par $y$ et $u(y)$. Par la formule de Grassmann (chapitre 15), $\dim(F \cap G) \geqslant 2 + 2 - 3 = 1$. L'intersection $F \cap G$ est stable par $u$ ; elle n'est pas une droite, donc c'est un plan, et $G = F$, ce qui contredit $y \notin F$. $$\boxed{\text{aucun endomorphisme } u \text{ d'un } \mathbb{R}\text{-espace de dimension } 3 \text{ ne vérifie } u^{2} = -\mathrm{id}}$$ Le chapitre 17 donnera une preuve en une ligne : $\det(u)^{2} = \det(-\mathrm{id}) = -1$.