Exercice 39

1. On pose $p = \frac{1}{\lambda - \mu}(u - \mu\,\mathrm{id})$ et $q = \frac{1}{\mu - \lambda}(u - \lambda\,\mathrm{id})$, de sorte que $p + q = \mathrm{id}$. Pour tout $x$, on a $x = p(x) + q(x)$, avec $(u - \lambda\,\mathrm{id})\big(p(x)\big) = 0$ et $(u - \mu\,\mathrm{id})\big(q(x)\big) = 0$, car les deux facteurs commutent. Ainsi $E = \mathrm{Ker}\,(u - \lambda\,\mathrm{id}) + \mathrm{Ker}\,(u - \mu\,\mathrm{id})$. Si $x$ est dans l'intersection, alors $\lambda x = u(x) = \mu x$, et $x = 0$ puisque $\lambda \neq \mu$.

2. Une base adaptée à cette somme directe (chapitre 15), formée d'une base de chaque noyau, convient : $u$ agit par $\lambda$ sur les vecteurs du premier et par $\mu$ sur ceux du second. $$\boxed{\mathrm{Mat}(u) = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda, \dots, \lambda}_{p}, \underbrace{\mu, \dots, \mu}_{n - p}), \qquad p = \dim\mathrm{Ker}\,(u - \lambda\,\mathrm{id})}$$

3. Pour $(\lambda, \mu) = (1, 0)$, la relation s'écrit $u^{2} = u$ : on retrouve qu'un projecteur a une matrice $\mathrm{diag}(1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ dans une base adaptée à $E = \operatorname{Im} u \oplus \mathrm{Ker}\, u$. Pour $(\lambda, \mu) = (1, -1)$, elle s'écrit $u^{2} = \mathrm{id}$ : on retrouve qu'une symétrie a une matrice $\mathrm{diag}(1, \dots, 1, -1, \dots, -1)$.