Exercice 40

1. L'endomorphisme canoniquement associé à $M$ est un projecteur. Par l'exercice 39, $M$ est semblable à $\mathrm{diag}(1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$, avec $r$ coefficients égaux à $1$, et $r = \mathrm{rg} M$. La trace est invariante par similitude (proposition 14). $$\boxed{M^{2} = M \implies \operatorname{tr} M = \mathrm{rg} M \in \mathbb{N}}$$

2. De même, $S$ est semblable à $\mathrm{diag}(1, \dots, 1, -1, \dots, -1)$, avec $p$ coefficients égaux à $1$ et $q = n - p$ égaux à $-1$. $$\boxed{\operatorname{tr} S = p - q = n - 2q \in \{-n, -n + 2, \dots, n - 2, n\}}$$

3. La matrice $M = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ a pour trace $1$ et vérifie $2 \times (-1) - 3 \times (-1) = 1 \neq 0$, donc elle est inversible et de rang $2$ (proposition 9). Ce n'est pas un projecteur, puisque $\operatorname{tr} M \neq \mathrm{rg} M$. Ce n'est pas une symétrie, puisque sa trace $1$ n'a pas la parité de $n = 2$. On le confirme par le calcul : $M^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ n'est égale ni à $M$ ni à $I_{2}$.

Piège. La condition sur la trace est nécessaire, mais pas suffisante : la matrice $E_{12}$ a une trace nulle, donc paire, et n'est pas une symétrie.