Exercice 37

1. Toutes les matrices élémentaires sont de rang $1$. Par le théorème 6, deux matrices de même taille et de même rang sont équivalentes. $$\boxed{\text{deux matrices élémentaires de } \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \text{ sont toujours équivalentes}}$$

2. Soit $P$ la matrice de permutation qui échange $e_{i}$ et $e_{j}$ ; elle vérifie $P^{2} = I_{n}$. L'endomorphisme canoniquement associé à $E_{jj}$ envoie $e_{j}$ sur $e_{j}$ et les autres vecteurs sur $0$. Dans la base obtenue en échangeant $e_{i}$ et $e_{j}$, sa matrice devient $E_{ii}$. $$\boxed{P^{-1}E_{jj}P = E_{ii}, \qquad P = P_{ij} = I_{n} - E_{ii} - E_{jj} + E_{ij} + E_{ji}}$$

3. Comme $i \neq j$ et $k \neq \ell$, il existe une permutation $\sigma$ de $[\![1\,;n]\!]$ telle que $\sigma(k) = i$ et $\sigma(\ell) = j$. L'endomorphisme associé à $E_{k\ell}$ envoie $e_{\ell}$ sur $e_{k}$ et les autres vecteurs de base sur $0$. Dans la base $(e'_{1}, \dots, e'_{n})$ définie par $e'_{\sigma(m)} = e_{m}$, il envoie $e'_{j}$ sur $e'_{i}$ et les autres sur $0$ : sa matrice est $E_{ij}$. Les matrices $E_{k\ell}$ et $E_{ij}$ sont donc semblables.

4. Si $P^{-1}E_{11}P = E_{12}$, on aurait $\operatorname{tr} E_{11} = \operatorname{tr} E_{12}$ (proposition 14), soit $1 = 0$. Autre argument : $E_{11}^{2} = E_{11}$ et $E_{12}^{2} = 0$, et deux matrices semblables ont des carrés semblables. $$\boxed{E_{11} \text{ et } E_{12} \text{ sont équivalentes mais pas semblables}}$$