Exercice 36

1. Les formules d'addition (chapitre 4) donnent $R(\theta)R(\varphi) = R(\theta + \varphi)$. Comme $R(0) = I_{2}$, chaque $R(\theta)$ est inversible d'inverse $R(-\theta)$, et $\theta \mapsto R(\theta)$ est un morphisme de groupes. Son noyau est l'ensemble des $\theta$ tels que $\cos\theta = 1$ et $\sin\theta = 0$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, = 2\pi\mathbb{Z}}$$

2. Par récurrence pour $n \geqslant 0$, puis en passant à l'inverse pour $n < 0$ : $$\boxed{R(\theta)^{n} = R(n\theta) \qquad (n \in \mathbb{Z})}$$ c'est la formule de Moivre écrite matriciellement.

3.(a) Si $R(\theta)v = \lambda v$ avec $v = (x, y) \neq 0$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\big(R(\theta) - \lambda I_{2}\big)v = 0$, donc $R(\theta) - \lambda I_{2}$ n'est pas inversible. Par la proposition 9, $(\cos\theta - \lambda)^{2} + \sin^{2}\theta = 0$, ce qui impose $\sin\theta = 0$, c'est-à-dire $\theta \in \pi\mathbb{Z}$, exclu. Si l'on avait $P^{-1}R(\theta)P = \mathrm{diag}(\lambda, \mu)$ avec $P \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R})$, la première colonne $v$ de $P$ serait non nulle et vérifierait $R(\theta)v = \lambda v$ : c'est impossible.

3.(b) Sur $\mathbb{C}$, on vérifie $R(\theta)(1, -\mathrm{i}) = (\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta, \sin\theta - \mathrm{i}\cos\theta) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(1, -\mathrm{i})$ et, de même, $R(\theta)(1, \mathrm{i}) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}(1, \mathrm{i})$. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. $$\boxed{P^{-1}R(\theta)P = \begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -\mathrm{i} & \mathrm{i} \end{pmatrix}}$$ À retenir. Être semblable à une matrice diagonale dépend du corps : une rotation du plan réel ne fixe aucune droite réelle, mais elle fixe deux droites complexes, sur lesquelles elle agit par multiplication par $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\theta}$.