Exercice 35

1. On cherche des vecteurs $v$ tels que $Av = \lambda v$ pour $\lambda = 0, 1, 3$. On trouve $$A(1, -2, 1) = 0, \qquad A(1, 0, 0) = (1, 0, 0), \qquad A(1, 1, 1) = (3, 3, 3).$$ Ces trois vecteurs sont libres : si $a(1, -2, 1) + b(1, 0, 0) + c(1, 1, 1) = 0$, la deuxième et la troisième coordonnée donnent $-2a + c = 0$ et $a + c = 0$, donc $a = c = 0$, puis $b = 0$. $$\boxed{P^{-1}AP = \mathrm{diag}(0, 1, 3) \quad \text{avec} \quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

2. Les colonnes de $B$ sont proportionnelles à $w = (1, -3, -2)$, donc $\mathrm{rg} B = 1$, et $\mathrm{Ker}\, B$ est le plan d'équation $x + y - z = 0$, qui contient $w$ ; ainsi $B^{2} = 0$. On pose $v_{1} = (1, 0, 0)$, $v_{2} = Bv_{1} = w$ et $v_{3} = (1, 0, 1) \in \mathrm{Ker}\, B$. Ces vecteurs sont libres, car $(v_{2}, v_{3})$ est une base de $\mathrm{Ker}\, B$ et $v_{1} \notin \mathrm{Ker}\, B$. Dans la base $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$, on a $v_{1} \mapsto v_{2}$, $v_{2} \mapsto 0$, $v_{3} \mapsto 0$. $$\boxed{P^{-1}BP = E_{21} \quad \text{avec} \quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$$