Exercice 34

1. L'application $\varphi$ est linéaire et ne fait pas monter le degré : $\varphi(1) = 1$, $\varphi(X) = X + 1 + X = 1 + 2X$, et $\varphi(X^{2}) = 2X^{2} + 4 + 2X^{2} + 2X + X^{2} = 4 + 2X + 5X^{2}$. $$\boxed{\mathrm{Mat}(\varphi) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}$$

2. La matrice de $\varphi - \lambda\,\mathrm{id}$ est triangulaire de diagonale $(1 - \lambda, 2 - \lambda, 5 - \lambda)$. Elle n'est pas inversible, c'est-à-dire que $\varphi - \lambda\,\mathrm{id}$ n'est pas injectif, si et seulement si $\lambda \in \{1, 2, 5\}$ (proposition 12). La résolution des trois systèmes donne : $$\boxed{\mathrm{Ker}\,(\varphi - \mathrm{id}) = \mathrm{Vect}(1), \qquad \mathrm{Ker}\,(\varphi - 2\,\mathrm{id}) = \mathrm{Vect}(1 + X), \qquad \mathrm{Ker}\,(\varphi - 5\,\mathrm{id}) = \mathrm{Vect}(7 + 4X + 6X^{2})}$$ Pour $\lambda = 5$, par exemple, le système donne $c = 1$, puis $-3b + 2 = 0$, puis $-4a + b + 4 = 0$, soit $(a, b, c) = (\frac{7}{6}, \frac{2}{3}, 1)$, que l'on multiplie par $6$.

3. Trois vecteurs pris dans les trois noyaux, de degrés échelonnés $0$, $1$, $2$, forment une base de $\mathbb{R}_{2}[X]$. $$\boxed{\text{dans la base } (1, \ 1 + X, \ 7 + 4X + 6X^{2}), \quad \mathrm{Mat}(\varphi) = \mathrm{diag}(1, 2, 5)}$$