Exercice 33

On note $N = (1, -2, 1)$ et $d = (-1, 1, 2)$. Un vecteur $v$ se décompose en $v = (v - \lambda d) + \lambda d$, avec $v - \lambda d$ dans le plan, c'est-à-dire ${N}^{T}(v - \lambda d) = 0$. Comme ${N}^{T}d = -1 - 2 + 2 = -1$, on obtient $\lambda = -{N}^{T}v$, et $p(v) = v + ({N}^{T}v)\,d$. La matrice de $p$ est donc $I_{3} + d{N}^{T}$. $$\boxed{\mathrm{Mat}(p) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 3 \end{pmatrix}}$$ Premier contrôle. On vérifie que la matrice $M$ obtenue envoie $d$ sur $0$ et fixe les vecteurs $(2, 1, 0)$ et $(1, 0, -1)$ du plan, qui forment une base du plan : ces trois conditions caractérisent $p$.

Second contrôle. On vérifie $M^{2} = M$, et $\operatorname{tr} M = 2 = \mathrm{rg} M$, comme pour tout projecteur (exercice 40).