Exercice 32

1. En notant $F$ la matrice de $f$, le calcul donne $F^{2} = F$ : $f$ est un projecteur, et $E = \operatorname{Im} f \oplus \mathrm{Ker}\, f$ (chapitre 14). Le noyau est la droite dirigée par $(2, 4, -5)$. L'image est engendrée par les colonnes $(3, 4, -5)$ et $(-4, -7, 10)$ ; c'est le plan d'équation $x - 2y - z = 0$, qui contient $(2, 1, 0)$ et $(1, 0, 1)$. $$\boxed{\text{dans la base } \big((2, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 4, -5)\big), \quad \mathrm{Mat}(f) = \mathrm{diag}(1, 1, 0)}$$

2. En notant $G$ la matrice de $g$, on remarque que $G = 2F - I_{3}$. Alors $G^{2} = 4F^{2} - 4F + I_{3} = I_{3}$ : $g$ est une symétrie, et dans la même base, $$\boxed{g = 2f - \mathrm{id}, \qquad \mathrm{Mat}(g) = \mathrm{diag}(1, 1, -1)}$$ C'est la symétrie par rapport au plan $\operatorname{Im} f$ parallèlement à la droite $\mathrm{Ker}\, f$, associée au projecteur $f$.