Exercice 31

1. En notant $X'_{j}$ les colonnes des coordonnées de $e'_{j}$ dans $\mathcal{B}$, on calcule $AX'_{1} = (0, 1, 1) = X'_{1}$, $AX'_{2} = (-1, 1, -1) = -X'_{2}$ et $AX'_{3} = (-2, 2, 0) = -2X'_{3}$. La famille $\mathcal{B}'$ est libre : si $ae'_{1} + be'_{2} + ce'_{3} = 0$, alors $b + c = 0$, $a - b - c = 0$, $a + b = 0$, d'où $a = 0$, puis $b = 0$ et $c = 0$. C'est donc une base de $E$. $$\boxed{D = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \mathrm{diag}(1, -1, -2)}$$

2. Les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des $e'_{j}$, et $D = P^{-1}AP$ (théorème 4). $$\boxed{P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A = PDP^{-1}}$$

3. On a $A^{n} = PD^{n}P^{-1}$, car les facteurs $P^{-1}P$ intermédiaires se simplifient. $$\boxed{A^{n} = \begin{pmatrix} 2(-2)^{n} - (-1)^{n} & (-2)^{n} - (-1)^{n} & (-1)^{n} - (-2)^{n} \\ 1 + (-1)^{n} - 2(-2)^{n} & 1 + (-1)^{n} - (-2)^{n} & (-2)^{n} - (-1)^{n} \\ 1 - (-1)^{n} & 1 - (-1)^{n} & (-1)^{n} \end{pmatrix}}$$ Pour $n = 0$, on retrouve $I_{3}$, et pour $n = 1$, la matrice $A$.